Презентация на тему "история комплексных чисел". Презентация на тему комплексные числа Действительные и комплексные числа презентация

1. Развитие понятия о числе Введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя.

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень, а если оно имеет три действительных корня, то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

3. Утверждение комплексных чисел в математике Кардано называл такие величины чисто отрицательными и даже софистически отрицательными, считал их бесполезными и старался их не употреблять. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название мнимые числа ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин комплексные числа так же был введен Гауссом в 1831 году. В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин комплексные числа так же был введен Гауссом в 1831 году.

Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

Которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании гиперкомплексных чисел - чисел с несколькими мнимыми единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их кватернионами После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании гиперкомплексных чисел - чисел с несколькими мнимыми единицами. Такую систему построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их кватернионами

Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами Абсцисса а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль r и аргумент q. Формулами a = r cos q, r=a/cos q a = r cos q, r=a/cos q b = r sin q, r=b/sin q b = r sin q, r=b/sin q r – длина вектора (a+bi), q – угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс

Комплексные числа, несмотря на их лживость и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии

0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт" title="Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт" class="link_thumb"> 25 Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт"> 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа."> 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт" title="Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт"> title="Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r(cos q + i sin q), r(cos q + i sin q), где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q где r > 0 т.е. z=a+bi или z=r*cos q + r*sin q Эт">

После изучения темы «Комплексные числа
учащиеся должны:
Знать:
алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы
комплексного числа.
Уметь:
производить над комплексными числами операции сложения,
умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение
корня из комплексного числа;
переводить комплексные числа из алгебраической формы в
геометрическую и тригонометрическую;
пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел;
в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с
действительными коэффициентами.

Какие числовые множества Вам знакомы?

Мнимые числа

Комплексные числа

Классификация комплексных чисел

Арифметические операции над комплексными числами

Сопряженные комплексные числа

Свойства сопряженных чисел

Свойства сопряженных чисел

Степени мнимой единицы

Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

Извлечение корня из комплексного числа.

Комплексные числа Комплексные числа и операции над ними.

Числовая система Допустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции. Натуральные числа, N Сложение, умножение Вычитание, деление, извлечение корней. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в N Целые числа, Z Сложение, вычитание, умножение. Деление, извлечение корней. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в Z Рациональные числа, Q Сложение, вычитание, умножение, деление. Извлечение корней из неотрицательных чисел. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в Q Действительные числа, R Сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел. Извлечение корней из произвольных чисел. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в R Комплексные числа, C Все операции

УСЛОВИЯ, которые должны удовлетворять комплексные числа … 1. Существует комплексное число, квадрат которого равен -1 2.Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. 3.Операции сложение, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законом арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному)

Вид комплексного числа В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы: ai+bi =(a+b) i ; ai -bi=(a-b) i ; a(bi)=(ab) i ; (ai)(bi)=abi²=- ab (a и b – действительные числа) i²= -1, i - мнимая единица

Определения Определение №1 Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа. Z= a+bi c C ↔ a c R , b c R, i – мнимая единица. В записи z = a+bi число a называют действительной частью комплексного число z , а число b – мнимой частью комплексного числа z . Определение №2 Два комплексных числа называют равными, если равны их действительные части и равны их мнимые части. a+bi = c+di ↔ a=c, b=d.

Определение № 3 Если у комплексного числа сохранить действительную часть и поменять знак у мнимой части, то получится комплексное число, сопряженное данному. Z=X+YI X - YI

Формулы Сумма комплексных чисел: z 1+ z 2 = (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+ i (b+d) Разность комплексных чисел: z 1 - z 2 = (a+bi)-(c+di)=(a-c)+ i (b-d) Произведение комплексных чисел: (a+bi)(c+di)= i (ac- bd)+(bc+ad) Формула для частного двух комплексных чисел: a+bi = ac+bd + bc -ad c+di c²+d² c²+d² i

z 2 Свойства Свойство 1 Если z = x + yi , то z*z = x ² + y ² z 1 Следует и числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю. Свойство 2 Z1+ Z2=Z1+Z2 т.е. число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам. Свойство 3 Z 1- Z 2= Z 1- Z 2, т.е. число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам.

Свойство 4 Z 1 Z 2= Z 1 Z 2 т.е число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам. С другой стороны, Z 1= a-bi, c- di , значит, Z 1 Z 2 = (ac – bd)- i (bc+ad) Свойство 5 Свойство 6

Геометрическая интерпретация комплексного числа. Y 0 X Bi A Z= A+Bl Y Bi 0 A M(A ; B) X

Сложение и умножение комплексных чисел. Алгебраическая форма Геометрическая форма Произведение Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2) Z 1 ·Z 2 = r 1 r 2 [ cos (φ 1 + φ 2)+ isin (φ 1 + φ 2)] Произведение (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC) i Сумма (A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I

Формула Муавра Для любого Z= r (cos φ + i sin φ)≠0 и любого натурального числа n

Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n- корней. Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n

Спасибо за внимание! Презентацию выполнила: ученица 10 «а» класс МОАУ «Гимназии №7» г.Оренбурга Елимова Мария.

Слайд 2

1. Развитие понятия о числе

Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы.

Слайд 3

Введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя.

Слайд 4

2. На пути к комплексным числам

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Слайд 5

В формуле для решения кубических уравнений вида: