Объем тетраэдра. Правильный тетраэдр (пирамида) Стороны тетраэдра

Равногранным называется тетраэдр, все грани которого равны. Чтобы представить себе равногранный тетраэдр, возьмем произвольный остроугольный треугольник из бумаги, и будем сгибать его по средним линиям. Тогда три вершины сойдутся в одну точку, а половинки сторон сомкнутся, образуя боковые ребра тетраэдра.

(0) Грани конгруэнтны.

(1) Скрещивающиеся ребра попарно равны.

(2) Трехгранные углы равны.

(3) Противолежащие двугранные углы равны.

(4) Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.

(5) Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.

(6) Развертка тетраэдра - треугольник или параллелограмм.

(7) Описанный параллелепипед прямоугольный.

(8) Тетраэдр имеет три оси симметрии.

(9) Общие перпендикуляры скрещивающихся ребер попарно

перпендикулярны.

(10) Средние линии попарно перпендикулярны.

(11) Периметры граней равны.

(12) Площади граней равны.

(13) Высоты тетраэдра равны.

(14) Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.

(15) Радиусы описанных около граней окружностей равны.

(16) Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.

(17) Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.

(18) Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.

(19) Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих

граней окружностей.

(20) Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов,

перпендикулярных к граням), равна нулю.

(21) Сумма всех двугранных углов равна нулю.

Практически все свойства равногранного тетраэдра следуют из его

определения, поэтому докажем только некоторые из них.

Доказательство (16).

Т.к. тетраэдр ABCD равногранный, то по свойству (1) AB=CD . Пусть точка К отрезка АВ , а точка L середина отрезка DC , отсюда отрезок KL бимедиана тетраэдра ABCD , откуда по свойствам медиан тетраэдра следует, что точка О - середина отрезка KL , является центром тяжести тетраэдра ABCD .

К тому же медианы тетраэдра пересекаются в центре тяжести, точке О , и делятся этой точкой в отношении 3:1, считая от вершины. Далее, учитывая вышесказанное и свойство (14) равногранного тетраэдра, получаем следующее равенство отрезков АО=ВО=СО=DО , из которого и следует, что точка О является центром описанной сферы (по определению описанной около многогранника сферы).

Обратно. Пусть К и L - середины ребер АВ и СD соответственно, точка О - центр описанной сферы тетраэдра, т.е. середина отрезка KL . Т.к. О - центр описанной сферы тетраэдра, то треугольники AOB и COD - равнобедренные с равными боковыми сторонами и равными медианами OK и OL . Поэтому ДAOB =ДCOD . А значит AB=CD . Аналогично доказывается равенство других пар противоположных ребер, из чего по свойству (1) равногранного тетраэдра и будет следовать искомое.

Доказательство (17).

Рассмотрим биссектор двугранного угла при ребре AB , он разделит отрезок DC в отношении площадей граней ABD и ABC .

Т.к. тетраэдр ABCD равногранный, то по свойству (12) S ДABD =S ДABD =>DL=LС , откуда следует, что биссектор ABL содержит бимедиану KL . Применяя аналогичные рассуждения для остальных двугранных углов, и принимая во внимание тот факт, что биссекторы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной сферы, получаем, что эта точка неминуемо будет центром тяжести данного равногранного тетраэдра.

Обратно. Из того, что центр тяжести и центр вписанной сферы совпадают имеем следующее: DL=LC=>SABD=SADC . Доказывая подобным образом равновеликость всех граней и, применяя свойство (12) равногранного тетраэдра, получаем искомое.

Теперь докажем свойство (20). Для этого сначала нужно доказать одно из свойств произвольного тетраэдра.

тетраэдр теорема школьный учебник

Если длины векторов перпендикулярных к граням тетраэдра численно равны площадям соответствующих граней, то сумма этих векторов равна нулю.

Доказательство.

Пусть Х - точка внутр и многогранника, h i (i=1,2,3,4) - расстояние от нее до плоскости i -ой грани.

Разрежем многогранник на пирамиды с вершиной Х , основаниями которых служат его грани. Объем тетраэдра V равен сумме объемов этих пирамид, т.е. 3 V=?h i S i , где S i площадь i -ой грани. Пусть далее, n i - единичный вектор внешней нормали к i-ой грани, M i - произвольная точка этой грани. Тогда h i =(ХM i , S i n i ) , поэтому 3V=?h i S i =?(ХM i , S i n i )=(ХО, S i n i )+(ОM i , S i n i )=(ХО, ?S i n i )+3V , где О - некоторая фиксированная точка тетраэдра, следовательно, ?S i n i =0 .

Далее очевидно, что свойство (20) равногранного тетраэдра является частным случаем вышеуказанной леммы, где S 1 = S 2 = S 3 = S 4 =>n 1 =n 2 =n 3 =n 4 , и так как площади граней не равны нулю, получаем верное равенство n 1 +n 2 +n 3 +n 4 =0 .

В заключение рассказа о равногранном тетраэдре приведем несколько задач на эту тему.

Прямая, проходящая через центр масс тетраэдра и центр описанной около него сферы, пересекает ребра AB и CD . Докажите, что AC=BD и AD=BC .

Центр масс тетраэдра лежит на прямой, соединяющей середины ребер АВ и СD .

Следовательно, на этой прямой лежит центр описанной сферы тетраэдра, а значит, указанная прямая перпендикулярна ребрам АВ и СD . Пусть С` и D` - проекции точек C и D на плоскость, проходящую через прямую АВ параллельно СD . Т.к. AC`BD` - параллелограмм (по построению), то АС=ВD и АD=ВС .

Пусть h - высота равногранного тетраэдра, h 1 и h 2 - отрезки, на которые одна из высот грани делится точкой пересечения высот этой грани. Доказать, что h 2 =4h 1 h 2 ; доказать также, что основание высоты тетраэдра и точка пересечения высот грани, на которую эта высота опущена, симметричны относительно центра окружности, описанной около этой грани.

Доказательство.

Пусть АВСD - данный тетраэдр, DH - его высота, DA 1 , DВ 1 , DС 1 - высоты граней, опущенные из вершины D на стороны ВС, СА и АВ .

Разрежем поверхность тетраэдра вдоль ребер DA, DB, DC , и сделаем развертку. Очевидно, что Н есть точка пересечения высот треугольника D 1 D 2 D 3 . Пусть F - точка пересечения высот треугольника ABC, АК - высота этого треугольника, АF=h 1 , FК=h 2 . Тогда D 1 Н=2h 1 , D 1 A 1 =h 1 -h 2 .

Значит, поскольку h - высота нашего тетраэдра, h 2 =DН 2 =DA 2 - НA 1 2 = (h 1+ h 2 ) 2 - (h 1 - h 2 ) 2 =4h 1 h 2. Пусть теперь М - центр тяжести треугольника ABC (он же центр тяжести треугольника D 1 D 2 D 3 ), О - центр описанной около него окружности. Известно, что F, М и О лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причем М - между F и О , FM =2МО , С другой стороны, треугольник D 1 D 2 D 3 гомотетичен треугольнику АВС с центром в М и коэффициентом (-2), значит МН=2FM . Из этого следует, что ОН=FO .

Доказать, что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек).

Доказательство.

Решая задачу 2, мы доказали, что центр описанной около тетраэдра сферы проецируется на каждую грань в середину отрезка, концами которого является основание высоты, опущенной на эту грань, и точка пересечения высот этой грани. А поскольку расстояние от центра описанной около тетраэдра сферы до грани равно, где h - высота тетраэдра, центр описанной сферы удален от данных точек на расстояние, где а - расстояние между точкой пересечения высот и центром описанной около грани окружности.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Основные формулы для правильного тетраэдра приведены в таблице.

Где:
S - Площадь поверхности правильного тетраэдра
V - объем
h - высота, опущенная на основание
r - радиус вписанной в тетраэдр окружности
R - радиус описанной окружности
a - длина ребра

Практические примеры

Решение .
Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны - она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a 2 √3 .
Тогда
S = 3√3

Ответ : 3√3

Задача .
Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды

Решение .
Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh
При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2 / 3

Ответ : 16√2 / 3 см

Лекция по теме «Тетраэдр»

Кристаллическая решетка метана

Тетрапакет для молока

Любимая игрушка моего детства Кубик Рубика

Уголковый отражатель

Я думаю, уже понятно, что сегодня речь пойдет о многогранниках- поверхностях геометрических тел, составленных из многоугольников.

текст

Многоугольник- часть плоскости, ограниченная замкнутой линией без самопересечений, включая ее саму.

Необходим вот такой рисунок с пояснениями или чертеж треугольника .

Картинка

А именно о тетраэдре.

Нужна анимационная картинка тетраэдра, которая вращается, грани раскрашены в разные оттенки зеленого цвета.

ТЕТРА́ЭДР [фр. tétraèdre < греч. tetra четыре + hedra сторона, основание]. геом. Четырехгранник, треугольная пирамида.

(пауза)

Проводить изучение многогранников будем по плану:

определение тетраэдра

элементы тетраэдра

развертка тетраэдра

изображение на плоскости

План изучения многогранников:

определение тетраэдра

элементы тетраэдра

развертка тетраэдра

изображение на плоскости

построим треугольник А BC

точка D , не лежащая в плоскости этого треугольника

соединяем точку D отрезками с вершинами треугольника ABC . Получим треугольники DAB , DBC и DCA .

Пошагово появляется чертеж

(пауза)

Определение BC , DAB , DBC и DCA называется тетраэдром.

Обозначение : DABC .

Определение : Поверхность составленная из четырех треугольников А BC , DAB , DBC и DCA называется тетраэдром.

Обозначение : DABC .

(Пауза)

Элементы тетраэдра

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра.

Сколько граней, ребер и вершин имеет тетраэдр?

Желательно чтобы появился предыдущий рисунок и элементы подписывались на чертеже и указывались стрелочками по мере их прочтения.

(пауза)

Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины

Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

На рисунке противоположными являются ребра AD и BC , BD и AC , CD и AB

Появляется предыдущий рисунок, по мере чтения текста цветом на рисунке выделяются противоположные вершины

Текст

противоположными ребра AD и BC , BD и AC , CD и AB

Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие – боковыми гранями.

Развертка тетраэдра.

Для изготовления тетраэдра из бумаги вам потребуется следующая развертка,

ее нужно перенести на плотную бумагу, вырезать, согнуть по пунктирным линиям и склеить.

На экране появляется развертка тетраэдра.

На плоскости тетраэдр изображается

В виде выпуклого или невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При этом штриховыми линиями изображаются невидимые ребра.

На первом рисунке AC - невидимое ребро,

на втором – EK , LK и KF .

Изображение тетраэдра на плоскости:

Решим несколько типовых задач на тетраэдр:

Задача 1.

Решение. Начертим развертку тетраэдра

(на экране появляется развертка тетраэдра)

Данный тетраэдр состоит из четырех равносторонних треугольников, следовательно, площадь развертки правильного тетраэдра равна площади полной поверхности тетраэдра или площади четырех правильных треугольников.

Площадь правильного треугольника ищем по формуле:

Задача 1. Найти площадь развертки правильного тетраэдра с ребром 5 см.

Площадь правильного треугольника:

Тогда получаем площадь тетраэдра равна:

Подставим в формулу длину ребра а=5 см,

получается

Ответ: Площадь развертки правильного тетраэдра

Площадь полной поверхности правильного тетраэдра

Задача 2

Постройте сечение тетраэдра плоскостью проходящей через точки M , N и K . ADC ), точки M и K (принадлежат грани ADB ), точки N и K (грани DBC ). Сечением тетраэдра является треугольник MKN .

а)

б) Соединим точки M и K (принадлежат грани ADB ), точки K и N (принадлежат грани DCB ), далее прямые MK и AB продолжить до пересечения и поставить точку P . Прямая PN и точка T лежат в одной плоскости АВС и теперь можно построить пересечение прямой МК с каждой гранью. В результате получается четырехугольник MKNT , который является искомым сечением.

б) ( Построение желательно делать поэтапно со словами диктора )

Тетраэдр в переводе с греческого означает "четырехгранник". Эта геометрическая фигура обладает четырьмя гранями, четырьмя вершинами и шестью ребрами. Грани представляют собой треугольники. По сути, тетраэдр - это Первые упоминания о многогранниках появились еще задолго до существования Платона.

Сегодня поговорим об элементах и свойствах тетраэдра, а также узнаем формулы нахождения у этих элементов площади, объема и других параметров.

Элементы четырехгранника

Отрезок, выпущенный из любой вершины тетраэдра и опущенный на точку пересечения медиан грани, являющейся противоположной, называется медианой.

Высота многоугольника представляет собой нормальный отрезок, опущенный из вершины напротив.

Бимедианой называется отрезок, соединяющий центры скрещивающихся ребер.

Свойства тетраэдра

1) Параллельные плоскости, которые проходят через два скрещивающихся ребра, образуют описанный параллелепипед.

2) Отличительным свойством тетраэдра является то, что медианы и бимедианы фигуры встречаются в одной точке. Важно, что последняя делит медианы в отношении 3:1, а бимедианы - пополам.

3) Плоскость разделяет тетраэдр на две равные по объему части, если проходит через середину двух скрещивающихся ребер.

Виды тетраэдра

Видовое разнообразие фигуры достаточно широко. Тетраэдр может быть:

• правильным, то есть в основании равносторонний треугольник;
• равногранным, у которого все грани одинаковы по длине;
• ортоцентрическим, когда высоты имеют общую точку пересечения;
• прямоугольным, если плоские углы при вершине нормальные;
• соразмерным, все би высоты равны;
• каркасным, если присутствует сфера, которая касается ребер;
• инцентрическим, то есть отрезки, опущенные из вершины в центр вписанной окружности противоположной грани, имеют общую точку пересечения; эту точку именуют центром тяжести тетраэдра.

Остановимся подробно на правильном тетраэдре, свойства которого практически не отличаются.

Исходя из названия, можно понять, что так он называется потому, что грани являют собой правильные треугольники. Все ребра этой фигуры конгруэнтны по длине, а грани - по площади. Правильный тетраэдр - это один из пяти аналогичных многогранников.

Формулы четырехгранника

Высота тетраэдра равна произведению корня из 2/3 и длины ребра.

Объем тетраэдра находится так же, как объем пирамиды: корень квадратный из 2 разделить на 12 и умножить на длину ребра в кубе.

Остальные формулы для расчета площади и радиусов окружностей представлены выше.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани , 6 ребер и 4 вершины .
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием , а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

• S – площадь любой грани,
• H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

• Все грани равны.
• Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
• Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
• Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим


Вынесем 1/2a. Получим

Применим формулу разность квадратов

После небольших преобразований получим


Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где ,

Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины проведем векторы , , .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим